Question

已知递增的等差数列{a_n}满足a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求等差数列{a_n}的通项a_n；
（2）设b_n=a_n+2an+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由bn=an+2an+1=2n-1+22n=(2n-1)+4n，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： （本题满分12分）
解：（1）∵a₁，a₂，a₅成等比数列
∴a22=a1a5，(a1+d)2=a1(a1+4d)…（2分）
∴d²=2a₁d…（1分）
∵d＞0，a₁=1，∴d=2，…（1分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．…（2分）
（2）∵bn=an+2an+1=2n-1+22n=(2n-1)+4n…（2分）
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（1+4）+（3+4²）+（5+4³）+…+[（2n-1）+4ⁿ]
=（1+3+5+…+2n-1）+（4+4²+4³+…+4ⁿ）…（2分）
=

n(1+2n-1)

2

+

4(1-4n)

1-4

=n2+

4n+1

3

-

4

3

…（2分）

点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意分组求和法的合理运用．