Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，点（a_n，S_n）都在函数f（x）=-

1

2

x+

1

2

的图象上．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log 

1

3

a_2n+1，T_n为数列{b_n}的前项和，且

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

≤x²+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由点（a_n，S_n）都在函数f（x）=-

1

2

x+

1

2

的图象上，可得S_n=-

1

2

an+

1

2

，利用递推式可得an=

1

3

an-1，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=log 

1

3

a_2n+1=log

1

3

(

1

3

)2n+1=2n+1．利用等差数列的前n项和公式可得T_n=n（n+2），

1

Tn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．利用“裂项求和”可得

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

，

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

≤x²+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立?

3

4

≤x²+ax+1对任意x∈R恒成立?4x²+4ax+1≥0对任意x∈R恒成立?△≤0，解出即可．

解答： 解：（1）∵点（a_n，S_n）都在函数f（x）=-

1

2

x+

1

2

的图象上，
∴S_n=-

1

2

an+

1

2

，
当n=1时，a₁=S₁=-

1

2

a1+

1

2

，解得a₁=

1

3

．
当n≥2时，S_n-1=-

1

2

an-1+

1

2

，
∴a_n=S_n-S_n=-

1

2

an+

1

2

an-1，化为an=

1

3

an-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为

1

3

，公比为

1

3

，
∴an=(

1

3

)n．
（2）b_n=log 

1

3

a_2n+1=log

1

3

(

1

3

)2n+1=2n+1．
∴Tn=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），
∴

1

Tn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

1

2

(1+

1

2

)=

3

4

，

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

≤x²+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立?

3

4

≤x²+ax+1对任意x∈R恒成立，
?4x²+4ax+1≥0对任意x∈R恒成立，
∴△=16a²-16≤0，解得-1≤a≤1．
∴实数a的取值范围是[-1，1]．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推式的应用、对数的运算性质、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．