Question

【题目】已知函数且，.

（1）求函数的定义域；

（2）当时，判断函数在定义域内的单调性，并用函数单调性定义证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，在其定义域上为减函数,证明见解析.

【解析】

（1）根据对数函数的定义，真数大于0，解得即可；

（2）根据复合函数的单调性，同增异减，即可求出单调性.

（1）根据题意，F（x）=loga（1+x）+loga（1-x），

则，解可得-1＜x＜1，

则函数F（x）的定义域为（-1，1）.

（2）g（x）=loga（1-x），则有1-x＞0，其定义域为（-∞，1），

当a＞1时，g（x）在其定义域上为减函数，

证明如下：设x1＜x2＜1，

g（x1）-g（x2）=loga（1-x1）-loga（1-x2）=loga，

又由x1＜x2＜1，则1-x1＞1-x2＞0，即＞1，

则g（x1）-g（x2）=loga＞0；

则g（x）在其定义域上为减函数．