Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于， 两点， ， 分别为线段， 的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据题意右焦点为，离心率为，可得；（2）若坐标原点在以为直径的圆上，则OM⊥ON故，连立方程得出韦达定理，将韦达定理代入得到关于k的方程即可得出k值

解析：(1)由题意得得 a=2,所以 =4，

结合，解得 =3，所以，椭圆的方程为.

(2)由消去得：（3+4k2）x2+8kx-8=0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 ,

依题意知，OM⊥ON，且, ,

,

即(x1+1) (x2+1)+(k x1+1)(k x2+1)=0,

整理得： ,

所以,

整理得：4k2+4k+1=0 所以 .