Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1，x∈R．a
（1）求f（x）的最值和最小正周期；
（2）设p：x∈[

π

4

，

π

2

]，q：|f（x）-m|＜3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式化简，再利用三角函数的有界性可求f（x）的最值和最小正周期；
（2）由于p是q的充分条件，所以问题等价于f（x）-m|＜3在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，借助于求函数的最值，问题得解．

解答：解：（1）∵f(x)=[1-cos(

π

2

+2x)]-

3

cos2x-1=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)．（4分）
∵x∈R∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2；T=π．　　（6分）
（2）由题意可知：|f（x）-m|＜3在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，即1≤2sin(2x-

π

3

)≤2，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=1．（9分）
∵|f（x）-m|＜3?f（x）-3＜m＜f（x）+3，x∈[

π

4

，

π

2

]
∴m＞f（x）_max-3且m＜f（x）_min+3，
∴-1＜m＜4，即m的取值范围是（-1，4）．　　（12分）

点评：本题主要考查三角函数的最值，考查恒成立问题的处理，关键是问题的等价转化．