Question

【题目】设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a+b≠0时，都有 ．
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；
（2）若f（9x﹣23x）+f（29x﹣k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵对任意a，b，当a+b≠0，都有 ．

∴ ，

∵a＞b，∴a﹣b＞0，

∴f（a）+f（﹣b）＞0，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（﹣b）=﹣f（b），

∴f（a）﹣f（b）＞0，

∴f（a）＞f（b）

（2）解：由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，

又f（9x﹣23x）+f（29x﹣k）＞0，得f（9x﹣23x）＞﹣f（29x﹣k）=f（k﹣29x），

故9x﹣23x＞k﹣29x，即k＜39x﹣23x，

令t=3x，则t≥1，

所以k＜3t2﹣2t，而3t2﹣2t=3 ﹣ 在[1，+∞）上递增，所以3t2﹣2t≥3﹣2=1，

所以k＜1，即所求实数k的范围为k＜1

【解析】（1）由a＞b，得 ，所以f（a）+f（﹣b）＞0，由f（x）是定义在R上的奇函数，能得到f（a）＞f（b）．（2）由f（x）在R上是单调递增函数，利用奇偶性、单调性可把f（9x﹣23x）+f（29x﹣k）＞0中的符号“f”去掉，分离出参数k后转化为函数最值即可解决．
【考点精析】利用奇偶性与单调性的综合对题目进行判断即可得到答案，需要熟知奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．