Question

【题目】如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F为CE的中点，求证：

（1）AE∥平面BDF；
（2）平面BDF⊥平面ACE．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，∵F是EC中点，由三角形中位线的性质可得 FG∥AE，

∵AE平面BFD，FG平面BFD，∴AE∥平面BFD

（2）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，

平面ABCD∩平面ABE=AB∴BC⊥平面ABE，又∵AE平面ABE，∴BC⊥AE，

又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BF．

在△BCE中，BE=CB，F为CE的中点，∴BF⊥CE，AE∩CE=E，∴BF⊥平面ACE，

又BF平面BDF，∴平面BDF⊥平面ACE．

【解析】（1）设AC∩BD=G，由三角形中位线的性质可得 FG∥AE，从而证明AE∥平面BFD．（2）利用线面垂直的判定定理AE⊥平面BCE，得到AE⊥BF，由等腰直角三角形的性质证明BF⊥CE，
从而证明BF⊥平面ACE，即证平面BDF⊥平面ACE．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．