Question

【题目】若函数f（x）= +bx+c有极值点x1 ， x2（x1＜x2），且f（x1）=x1 ， 则关于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实数根的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函数f（x）=x3+ ax2+bx+c有两个极值点x1 ， x2 ， ∴f′（x）=3x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=a2﹣12b＞0．
而方程3（f（x））2+af（x）+b=0的△1=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x1或x2 ，
不妨取0＜x1＜x2 ， f（x1）＞0．
①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，
∵f（x1）=x1 ， 可知方程f（x）=x1有两解．
②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1 ， ∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．
综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2 ． 只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+af（x）+b=0的只有3不同实根．
故选：C．

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)．