Question

【题目】椭圆C： 的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为S.

（1）求椭圆C的方程.

（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？

（3）求S的范围.

Answer 1

【答案】(1) （2）5（3）

【解析】试题分析：

根据椭圆： 的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上，建立方程，求出几何量，即可求出椭圆的方程。

设直线的方程为,代入椭圆方程，消去，根据、、恰好构成等比数列，求出,进而表示出，即可得出结论。

表示出的面积，利用基本不等式，即可求出的范围。

解析：(1)由题意可知，且，

所以椭圆的方程为

（2）依题意，直线斜率存在且，设直线的方程为（），、

由

，因为、、恰好构成等比数列，

所以，

即；

所以

此时

得，且（否则：，则，中至少有一个为，直线、中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）

所以；

所以

所以是定值为5；

（3）（，且）

所以