Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；
（3）若对x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ， f（x1）≠f（x2），方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1 ， x2）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（1）=0，

所以a+b+c=0，

又因为a＞b＞c，

所以a＞0，且c＜0，

因此ac＜0，

所以△=b2﹣4ac＞0，

因此f（x）的图象与x轴有2个交点

（2）解：由（1）可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x1和x2，

因为f（1）=0，

所以f（x）=0的一根为x1=1，

因为x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

所以x2=﹣ ﹣1= ，

因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，

所以﹣2＜x2＜0．

因为要求f（m）=﹣a＜0，

所以m∈（x1，x2），

因此m∈（﹣2，1），

则m+3＞1，

因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增；

所以f（m+3）＞f（1）=0成立

（3）解：构造函数g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]，

则g（x1）=f（x1）﹣ [f（x1）+f（x2）]= [f（x1）﹣f（x2）]，

g（x2）=f（x2）﹣ [f（x1）+f（x2）]= [f（x2）﹣f（x1）]，

于是g（x1）g（x2）= [f（x1）﹣f（x2）][f（x2）﹣f（x1）]

=﹣ [f（x1）﹣f（x2）]2，

因为f（x1）≠f（x2），

所以g（x1）g（x2）=﹣ [f（x1）﹣f（x2）]2＜0，

所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，

即方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）

【解析】（1）由f（1）=0，得a+b+c=0，根据a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判别式可证；（2）由条件知方程的一根为1，另一根满足﹣2＜x2＜0．由于f（m）=﹣a＜0，可知m∈（﹣2，1），从而m+3＞1，根据函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，可知（m+3）＞0成立． （3）构造函数g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]，进而证明g（x1）g（x2）＜0，所以方程g（x）=0在（x1 ， x2）内有一根，故方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1 ， x2）．