Question

【题目】设{an}是各项都为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，a3+b5=13，a5+b3=21．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn ， 求数列{Snbn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设各项都为正数的等比数列{an}的公比是q，且q＞0，等差数列{bn}的公差是d，
∵a1=b1=1，a3+b5=13，a5+b3=21，
∴ ，即 ，
整理，得2q4﹣q2﹣28=0，q＞0
解得d=2，q=2，
∴an=2n﹣1 ， bn=1+（n﹣1）d=2n﹣1．
（Ⅱ）∵{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴Sn= =2n﹣1，
∵bn=2n﹣1，
∴Snbn=（2n﹣1）（2n﹣1）=（2n﹣1）2n﹣2n+1，
∴Tn=[1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n]﹣2（1+2+3+…+n）+n，
设S=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n ， ①
则2S=1×22+3×23+5×24+…+（2n﹣1）×2n+1 ， ②
①﹣②，得：
﹣S=2+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）2n+1
= ﹣（2n﹣1）2n+1
=2n+1﹣2﹣（2n﹣1）2n+1 ，
∴S=2+（n+1）2n+2 ，
∴Tn=[1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n]﹣2（1+2+3+…+n）+n
=2+（n+1）2n+2﹣2× +n
=（n+1）2n+2﹣n2+2．
【解析】（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列和等比数列的通项公式建立方程组，求出公差和公比，由此能求出数列{an}，{bn}的通项公式．（Ⅱ）先求出数列{an}的前n项和Sn ， 再求出Snbn的表达式，然后利用分组求和法、错位相减法和等等数列前n项和公式能求出Tn ．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．