Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 设an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn ， bn+1）在直线y=x+2上．
（Ⅰ）求an ， bn；
（Ⅱ）若数列{bn}的前n项和为Bn ， 比较 + +…+ 与1的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an是Sn与2的等差中项，∴2an=Sn+2 …①当n=1时，a1=2；
n≥2时，2an﹣1=Sn﹣1+2 …②；
∴由①﹣②得：an=2an﹣1
∴{an}是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an=2n ．
又∵点P（bn ， bn+1）在直线x﹣y+2=0上，
∴bn﹣bn+1+2=0即：bn+1﹣bn=2，
又b1=1，∴{bn}是一个以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴bn=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：Bn= ．
∴ ，
∴ + +…+ = =1﹣ ＜1
【解析】（I）由于an是Sn与2的等差中项，可得2an=Sn+2，利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1即可得出an与an﹣1的关系，再利用等比数列的通项公式即可得出．由于点P（bn ， bn+1）在直线x﹣y+2=0上，可得bn﹣bn+1+2=0即：bn+1﹣bn=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．（II）利用等差数列的前n项和公式可得Bn ， 再利用“放缩法”和“裂项求和”即可证明
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．