【题目】已知函数,
.
(1)当时,求函数
的单调增区间;
(2)设函数,
.若函数
的最小值是
,求
的值;
(3)若函数,
的定义域都是
,对于函数
的图象上的任意一点
,在函数
的图象上都存在一点
,使得
,其中
是自然对数的底数,
为坐标原点.求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:求函数的单调区间可利用求导完成,求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值,并与区间端点函数值比较得出最值;解决问题,先求出
斜率的取值范围,根据垂直关系得出
斜率的取值范围,转化为恒成立问题,借助恒成立思想解题.
试题解析:
(1)当时,
,
.
因为在
上单调增,且
,
所以当时,
;当
时,
.
所以函数的单调增区间是
.
(2),则
,令
得
,
当时,
,函数
在
上单调减;
当时,
,函数
在
上单调增.
所以.
①当,即
时,
函数的最小值
,
即,解得
或
(舍),所以
;
②当,即
时,
函数的最小值
,解得
(舍).
综上所述, 的值为
.
(3)由题意知, ,
.
考虑函数,因为
在
上恒成立,
所以函数在
上单调增,故
.
所以,即
在
上恒成立,
即在
上恒成立.
设,则
在
上恒成立,
所以在
上单调减,所以
.
设,
则在
上恒成立,
所以在
上单调增,所以
.
综上所述, 的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂的A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如表所示.质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测.
车间 | A | B | C |
数量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测,求这2件商品来自相同车间的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图△ABC是等腰三角形,BA=BC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,若AC=2且BE⊥AD,则( )
A.AB+BC有最大值
B.AB+BC有最小值
C.AE+DC有最大值
D.AE+DC有最小值
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个球被取出的可能性相等.
(1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率;
(2)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,点
,直线
与动直线
的交点为
,线段
的中垂线与动直线
的交点为
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过动点作曲线
的两条切线,切点分别为
,
,求证:
的大小为定值.
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【题目】某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨;生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨,二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润为900元,每1吨乙种棉纱的利润为600元.工厂在生产这两种棉纱的计划中,要求消耗一级籽棉不超过250吨,二级籽棉不超过300吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨,能使利润总额最大?并求出利润总额的最大值.
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【题目】如图,在棱长为ɑ 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F、G分别是CB.CD.CC1的中点.
(1)求直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦的值;
(2)求证:平面A B1D1∥平面EFG.
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【题目】如图,矩形ABCD 中,AD⊥平面ABE,AE=FB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,AC,BD交于G点
(1)求证:AE∥平面BFD
(2)求证:AE⊥平面BCE
(3)求三棱柱C﹣BGF的体积.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥AB,PA=AD=2BC=2AB=2.
(1)求证:平面PAC⊥平面PCD;
(2)若E是PD的中点,求平面BCE将四棱锥P﹣ABCD分成的上下两部分体积V1、V2之比.
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