Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABCD内的射影为A，且PA＝AB＝2，E为PD中点． (1) 证明：PB//平面AEC； (2) 证明：平面PCD⊥平面PAD； (3) 求二面角B－PC－D的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：连结BD交AC于点O，连结EO． O为BD中点，E为PD中点， ∴EO//PB．……………………1分 EO平面AEC，PB平面AEC，……………………2分 ∴PB//平面AEC．……………………3分
(2)	证明：P点在平面ABCD内的射影为A， ∴PA⊥平面ABCD． 平面ABCD， ∴．……………………4分 又在正方形ABCD中且，……………………5分 ∴CD平面PAD．……………………6分 又平面PCD， ∴平面平面．……………………7分
(3)	解法一：过点B作BHPC于H，连结DH．……………………8分 易证，DHPC，BH＝DH, ∴为二面角B—PC—D的平面角．……………………10分 PA⊥平面ABCD, ∴AB为斜线PB在平面ABCD内的射影， 又BC⊥AB, ∴BC⊥PB． 又BHPC, ∴, ,……………………11分 在中， ＝，……………………12分 ∴ ，……………………13分 ∴二面角B—PC—D的大小为．……………………14分 解法二：如图，以A为坐标原点，所在直线分别 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．……………………8分 由PA＝AB＝2可知A、B、C、D、P的坐标分别为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)． ,．…………9分 设平面BCP的法向量为＝, 则即 ∴ 令,则．…………………………………11分 设平面DCP的法向量为＝, 则即 ∴ 令,则．…………………………………13分 , ∴二面角B—PC—D的大小为．…………………………………14分