【题目】某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立.
（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；
（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；
（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）商场经理希望顾客选择参加
次抽奖，理由见解析；（Ⅲ）
元.
【解析】
试题（Ⅰ）先确定从装有10个球的箱子中任摸一球的结果有10种，其中摸到红球的结果有4种，因此根据古典概型概率求法得
（Ⅱ）比较与3次抽奖的数学期望的大小，由于3次抽奖是相互独立，所以可视为独立重复试验，其变量服从二项分布
，由此可得数学期望为
，即三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为
元.
（Ⅲ）求概率最大时对应的奖金：由于变量服从二项分布
，所以作商得
，
，因此
最大，即获得400元的现金
试题解析：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有
种，摸到红球的结果共有
种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是
；
（Ⅱ）设
表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则
，
所以.
由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为元.
由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖；
（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为
.
由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则
.
于是，恰好
次中奖的概率为
，
.
从而，，
当
时，
；
当
时，
，
则最大.
所以，最有可能获得的现金奖励为
元.
于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励.
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【题目】（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）
设函数
的定义域为
，值域为
，如果存在函数
，使得函数
的值域仍是，那么称是函数
的一个等值域变换．
（1）判断下列函数是不是函数的一个等值域变换？说明你的理由；
，
；
，
．
（2）设函数的定义域为，值域为，函数
的定义域为
，值域为
，那么“
”是否为“是的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由；
（3）设
的定义域为
，已知
是的一个等值域变换，且函数的定义域为
，求实数
的值．
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【题目】在直角坐标系
中，曲线C的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．
(1)求C的普通方程和的直角坐标方程；
(2)求C上的点到距离的最大值．
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【题目】如图，已知动圆
过点
，且在
轴上截得弦
的长为4.
（1）求动圆圆心的轨迹
的方程；
（2）已知
，过点
的直线交轨迹于
，
两点，直线
，
分别与轨迹交于
，
两点，设直线
，
的斜率分别为
，
，试问
是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
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【题目】已知椭圆
的离心率
，
为椭圆
的右焦点，
，
为椭圆的上、下顶点，且
的面积为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线
与椭圆交于
，
两点，证明：在第一象限内存在定点
，使得当直线
与直线
的斜率均存在时，其斜率之和是与
无关的常数，并求出所有满足条件的定点的坐标．
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【题目】我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数
的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
．
（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；
（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，点M的直角坐标为（1，0），求△PMQ的面积．
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【题目】如图，OH分别为锐角△ABC的外心垂心，AD⊥BC于D，G为AH的中点点K在线段GH上，且满足GK=HD，连结KO并延长交AB于点E.
（1） 证明：
；
（2） 证明：
.
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