Question

【题目】如图，已知动圆过点，且在轴上截得弦的长为4.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）已知，过点的直线交轨迹于，两点，直线，分别与轨迹交于，两点，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）为定值，理由见解析.

【解析】

（1）设动圆圆心坐标，利用弦心距，半弦长，半径所成的直角三角形列方程，化简可得；
（2）设A，B的坐标，AB的方程，与抛物线方程联立可得根与系数关系，当时，可得；当时，由A，F可得AC的方程，与抛物线方程联立可得A，C坐标的关系，同法得B，D坐标的关系，然后用C，D坐标表示后可转化为A，B的坐标，从而得到与的关系，得到定值.

（1）如图所示，设动圆的圆心，由题意，，

当不在轴上时，过作交于，则是的中点，

∴，

又，

∴，化简得；

又当在轴上时，由已知可得与重合，点的坐标也满足方程，

∴动圆圆心的轨迹的方程为；

（2）为定值，下面给出证明：

设直线的方程为，，

，，不妨设，

联立得，

∴，

①当时，

若，则，，，

：，，

∴，.

若，同理可得；

②当时，直线的方程为，

联立得，

则，故，同理，

故，

∴（定值）.

综上得为定值.