Question

【题目】已知椭圆：的短轴长为2，直线被椭圆截得的线段长为，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点且斜率为的直线，与椭圆交于、两点时，作线段的垂直平分线分别交轴、轴于、，垂足为，使得与的面积相等，若存在，试求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在，

【解析】

（1）由题意可知：，易得椭圆过点，从而求得的值，即可求得椭圆的方程；

（2）假设存在满足条件的直线，不妨设过的直线方程为：，将两个三角形的面积相等转化成关于的方程，解方程即可得答案；

（1）由题意可知：，因为椭圆过点，

所以，解得，

故所求椭圆的方程为.

（2）假设存在满足条件的直线，不妨设过的直线方程为：，

与椭圆联立方程组得：，消得：，

设线段中点，、，则由韦达定理得：

，，代入，

得点的纵坐标，

即.

所以线段的垂直平分线方程为：，

令，得；令，得，

所以的面积，

的面积，

因为与的面积相等，且，

所以，解得.

所以直线的方程为：.