Question

【题目】已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）

A.[0，e3﹣4]B.[0，2]

C.[2，e3﹣4]D.[e3﹣4，+∞）

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．

解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，

则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，

﹣x3+1+a＝﹣3lnxa+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，

设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2，

又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，

分析可得：当x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，

当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，

故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，

又由g（）3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），

故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，

故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；

若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，

必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，

即a的取值范围是[0，e3﹣4]；

故选：A．