Question

【题目】已知函数 若关于的不等式的解集非空，且为有限集，则实数的取值集合为___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

利用导数，研究的性质和图像；利用换元法，结合二次不等式的解集，结合的函数图像，即可分类讨论求得.

当时，，则，令，解得，

容易得在区间单调递减，在区间单调递增，

且在时，取得极小值，即；且时，；

当时，，则，令，解得，

容易得在区间单调递增，在区间单调递减，

且在时，取得极大值，即；且时，；

故的模拟图像如下所示：

综上所述：的值域为.

令，则，其，对称轴为：

当时，显然关于的二次不等式解集为空集，不满足题意；

当，即或时，

若，显然关于的二次不等式的解集为，又，

数形结合可知，此时关于的原不等式解集为空集，不满足题意；

若，关于的二次不等式的解集为，又，

数形结合可知，此时关于的原不等式解集为，满足题意；

当，即或时，

令，解得，

显然，故此时关于的不等式的解集为，

数形结合可知，要满足题意，只需或.

即，解得，满足或；

或，解得，不满足或，舍去；

综上所述，要满足题意，则或.

故答案为：.