Question

【题目】已知点，点，点，动圆与轴相切于点，过点的直线与圆相切于点，过点的直线与圆相切于点（均不同于点），且与交于点，设点的轨迹为曲线.

（1）证明：为定值，并求的方程；

（2）设直线与的另一个交点为，直线与交于两点，当三点共线时，求四边形的面积.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析，方程为.

(2) .

【解析】分析：（1）根据圆的切线性质可得， ，从而根据椭圆的可得结果；（2）直线与曲线联立，利用韦达定理、弦长公式以及三角形面积公式可得四边形的面积为.

详解：（1）由已知可得|PD|＝|PE|，|BA|＝|BD|，|CE|＝|CA|，

所以|PB|＋|PC|＝|PD|＋|DB|＋|PC|

＝|PE|＋|PC|＋|AB|

＝|CE|＋|AB|

＝|AC|＋|AB|＝4＞|BC|

所以点P的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（去掉与x轴的交点），

可求的方程为＋＝1(y≠0)．

（2）由O，D，C三点共线及圆的几何性质，可知PB⊥CD，

又由直线CE，CA为圆O的切线，可知CE＝CA，OA＝OE，

所以△OAC≌△OEC，进而有∠ACO＝∠ECO，

所以|PC|＝|BC|＝2，又由椭圆的定义，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2，

所以△PBC为等边三角形，即点P在y轴上，点P的坐标为(0，±)

(i)当点P的坐标为(0，)时，∠PBC＝60，∠BCD＝30，

此时直线l1的方程为y＝ (x＋1)，直线CD的方程为y＝－ (x－1)，

由整理得5x2＋8x＝0，得Q(－，－)，所以|PQ|＝，

由整理得13x2－8x－32＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝－，

|MN|＝|x1－x2|＝，

所以四边形MPNQ的面积S＝|PQ|·|MN|＝．

(ii)当点P的坐标为(0，－)时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ的面积为．

综上，四边形MPNQ的面积为．