Question

设命题p：?x∈[0，1]，x²+m＜0；命题q：方程

x2

m-3

+

y2

m-5

=1表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：本题的关键是（1）给出命题q：方程

x2

m-3

+

y2

m-5

=1表示焦点在x轴上的椭圆为真时m的取值范围；（2）的关键是给出命题p：?x∈[0，1]，x²+m＜0为真时m的取值范围，在根据p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题
，p、q一真一假给出m的取值范围．

解答： 解：（1）命题q：方程

x2

m-3

+

y2

m-5

=1表示焦点在x轴上的椭圆
∵方程

x2

m-3

+

y2

m-5

=1表示焦点在x轴上的椭圆
∴m-3＞m-5＞0⇒m＞5
即命题q为真命题时实数m的取值范围是：m＞5
（2）命题p：?x∈[0，1]，x²+m＜0；
若命题p真，即对?x∈[0，1]，x²+m＜0恒成立?m＜（-x²）_min=-1，
∴m＜-1
∵p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题
∴p、q一真一假
①如果p真q假，则有

m＜-1 m≤5

⇒m＜-1
②如果p假q真，则有

m≥-1 m＞5

⇒m＞5
综上实数m的取值范围为m＜-1或m＞5

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．