Question

直线y=kx-2交抛物线于x²=-8y于A，B两点，若AB中点的纵坐标是-6，则|AB|=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：联立

y=kx-2 x2=-8y

，得x²+8kx-16=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-8k，x₁x₂=-16，由AB中点的纵坐标是-6，推导出x₁+x₂=-8或x₁+x₂=8，由此能求出|AB|．

解答： 解：联立

y=kx-2 x2=-8y

，得x²+8kx-16=0，
△=64k²+64＞0恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-8k，x₁x₂=-16，
∵AB中点的纵坐标是-6，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-12，
∴-8k²=-8，解得k=±1，∴x₁+x₂=-8或x₁+x₂=8，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2(64+64)

=16．
故答案为：16．

点评：本题考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．