Question

【题目】已知函数f（x）=ex（其中e为自然对数的底数），g（x）= x+m（m，n∈R）．
（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣ ，求T（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若m=﹣ ，n∈N* ， 求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：7＜e2＜ ]．

Answer 1

【答案】
（1）解：T（x）=f（x）g（x）

=ex（ x+m）=ex（ x+1﹣ ）；

故T′（x）=ex（ x+1）；

则当n≥﹣2时，T′（x）≥0；

故T（x）在[0，1]上的最大值为T（1）=e；

当n＜﹣2时，x∈[0，﹣ ）时，T′（x）＞0；x∈（﹣ ，1]时，T′（x）＜0；

T（x）在[0，1]上的最大值为T（﹣ ）=﹣

（2）解：由题意，f（x）=ex，g（x）= x﹣ ；

故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为

F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣ x+ ＞0恒成立；F′（x）=ex﹣ ；

故F（x）在（﹣∞，ln ）上是减函数，在（ln ，+∞）上是增函数；

故可化为F（ln ）＞0；即 （1﹣ln ）+ ＞0；

令G（n）= （1﹣ln ）+ ；故G′（n）=﹣ （ln +1）＜0；

故G（n）= （1﹣ln ）+ 是[1，+∞）上的减函数，

而G（2e2）=﹣e2+ ＞0；G（14）=7（1﹣ln7）+ ＞0；

G（15）=7.5（1﹣ln7.5）+ ＜0；故最大正整数n为14

【解析】（1）T（x）=f（x）g（x）=ex（ x+m）=ex（ x+1﹣ ）；求导T′（x）=ex（ x+1）；从而确定函数的最大值；（2）由题意，f（x）=ex，g（x）= x﹣ ；故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣ x+ ＞0恒成立；从而化为最值问题．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．