Question

【题目】定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xex]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（ ）
A.（﹣1，﹣ ）
B.（0， ）
C.（﹣ ，0）
D.（ ）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由题意，可知f（x）﹣xeX是定值，不妨令t=f（x）﹣xeX，则f（x）=xeX+t，

又f（t）=tet+t=0，解得t=0，

所以有f（x）=xeX，

所以f′（x）=（x+1）eX，

令F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣x=xex﹣（x+1）ex﹣x=﹣ex﹣x，

可得F（﹣1）=1﹣ ＞0，F（﹣ ）= ﹣ ＜0

即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣ ）内

∴方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（﹣1，﹣ ），

故选：A．

【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．