Question

【题目】已知点在椭圆:（）上，且点到左焦点的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点关于坐标原点的对称点为，又两点在椭圆上，且，求凸四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意点到左焦点的距离为3，结合两点间距离公式可求得的值，将点代入椭圆，根据椭圆中的关系式即可求得，进而得椭圆的标准方程.

（2）由可设直线的方程为，联立椭圆方程，整理变形根据两个交点可令求得的范围.设，由韦达定理表示出，，由弦长公式求得，点到直线距离公式求得到的距离，结合用表示出，令，可化简为，再令，利用导函数求得的单调性和最值，即可求解.

（1）因为椭圆经过点，所以.

设左焦点（），

则由得，

解得.

又，于是，

解得（舍负），

进而.

故椭圆的标准方程为.

（2）因为，可设直线的方程为（），

联立并整理得.

由，解得.

设，则，.

所以

.

又与之间的距离即到的距离，且.

所以四边形的面积.

设，由可得，

则，

记之为函数，则，

易知在区间内单调递增，在区间内单调递减.

故的最大值为，此时，解得，符合题意，

所以四边形面积的最大值为.