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    【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

    未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

    日用水量

    [0,0.1)

    [0.1,0.2)

    [0.2,0.3)

    [0.3,0.4)

    [0.4,0.5)

    [0.5,0.6)

    [0.6,0.7)

    频数

    1

    3

    2

    4

    9

    26

    5

    使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

    日用

    水量

    [0,0.1)

    [0.1,0.2)

    [0.2,0.3)

    [0.3,0.4)

    [0.4,0.5)

    [0.5,0.6)

    频数

    1

    5

    13

    10

    16

    5

    （1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

    （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3的概率；

    （3）估计该家庭用节水龙头后，一年能节省多少水.（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

    【答案】(1)频率分布直方图见详解；(2)0.38；(3).

    【解析】

    （1）由表格数据，分别计算频率和组距的比值，再在频率分布直方图中画出即可；

    （2）根据频率分布直方图，算出日用水量小于0.3的长方形面积即可.

    （3）先根据频率分布直方图，计算出使用节水龙头后，日均用水量的平均值，结合未使用节水龙头时的日均用水量，即可计算出一年节省的水量.

    （1）根据使用节水龙头50天的日用水量频数分布表，可得：

    日用水量在区间[0,0.1)的频率为，频率和组距的比值为

    日用水量在区间[0.1,0.2)的频率为，频率和组距的比值为

    日用水量在区间[0.2,0.3)的频率为，频率和组距的比值为

    日用水量在区间[0.3,0.4)的频率为，频率和组距的比值为

    日用水量在区间[0.4,0.5)的频率为，频率和组距的比值为

    日用水量在区间[0.5,0.6)的频率为，频率和组距的比值为

    据此绘制频率分布直方图如下所示：

    （2）由（1）所求频率分布直方图可知，

    日用水量小于0.3的概率为.

    （3）由（1）中所求频率分布直方图，设使用节水龙头后日均用水量为

    则

    可得.

    根据未使用节水龙头时的日均用水量的频数分布表，设未使用节水龙头日均用水量为，

    则

    可得

    故使用节水龙头后，每年节省的水量为：

    即每年节省水量.

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    （1）求的值；

    （2）设在该次对抗比赛中，丙得分为，求的分布列、数学期望和方差.

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    （Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；

    （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率.

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    【题目】已知函数.

    （Ⅰ）当时，函数在区间上的最小值为-5，求的值；

    （Ⅱ）设，且有两个极值点，.

    （i）求实数的取值范围；

    （ii）证明：.

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    【题目】某部门在十一月份对城市居民进行了主题为空气质量问卷调查，根据每份调查表得到每个调查对象的空气质量评分值（百分制）．现从收到的调查表中随机抽取20份进行统计，得到如图所示的频率分布表：

    空气质量评分值

    频数

    频率

    [50，60]

    2

    　 　

    （60.70]

    6

    　 　

    （70，80]

    　 　

    　 　

    （80，90]

    3

    　 　

    （90，100]

    2

    　 　

    （1）请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；

    （2）该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加如何提高空气质量的座谈会．在题中抽样统计的这20人中，已知空气质量评分值在区间（80，100]的5人中有2人被邀请参加座谈，求其中幸福指数评分值在区间（80，90]的仅有1人被邀请的概率．

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    【题目】某某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组： ，并整理得到如下频率分布直方图：

    （Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

    （Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；

    （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

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    （2）求证：平面DEF；

    （3）求平面ABEF与平面ECD所成锐二面角的余弦值.

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    （2）设点关于坐标原点的对称点为，又两点在椭圆上，且，求凸四边形面积的最大值.

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