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【题目】已知函数f(x)=3x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知函数g(x)=f(x)+mx﹣2在(2,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:∵不等式f(x)>0的解集为(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞).

解得

∴f(x)=3x2+6x;


(2)解:由(1)知,f(x)=3x2+6x,

∵g(x)=f(x)+mx﹣2,

∴g(x)=3x2+6x+mx﹣2,

=3[x+(1+ )]2﹣2﹣3×+(1+ 2

∵函数g(x)在(2,+∞)上单调递增,

∴﹣(1+ )≤2,

∴m≥﹣18;

∴实数m的取值范围为m≥﹣18


【解析】(1)根据题意判断出:﹣2和0是方程3x2+bx+c=0的两个实根,代入列出方程,求出b和c的值;(2)由(1)求出g(x)的解析式,再求出对称轴方程,根据条件和二次函数的单调性,列出不等式,求出m的范围
【考点精析】掌握二次函数的性质和解一元二次不等式是解答本题的根本,需要知道当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减;求一元二次不等式解集的步骤:一化:化二次项前的系数为正数;二判:判断对应方程的根;三求:求对应方程的根;四画:画出对应函数的图象;五解集:根据图象写出不等式的解集;规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.

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