Question

【题目】设函数f（x）在R上存在导数f′（x），x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2 ， 在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（ ）
A.[﹣2，2]
B.[2，+∞）
C.[0，+∞）
D.（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令g（x）=f（x）﹣ x2 ， ∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣ x2+f（x）﹣ x2=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，
故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，
∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+ （4﹣m）2﹣g（m）﹣ m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，
∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，
故选：B．
令g（x）=f（x）﹣ x2 ， 由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得 4﹣m≤m，由此解得a的范围．