Question

14．已知f（x）=lnx-bx+a+1
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设b=1，若存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a≥-ln x+x-1，令g（x）=-ln x+x-1，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞）…（1分）
${f^'}（x）=\frac{1}{x}-b$…（2分）
若b≤0，f′（x）＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）
若b＞0，令f′（x）＞0，解得$0＜x＜\frac{1}{b}$，
令f′（x）＜0，解得$x＞\frac{1}{b}$…（5分）
综上，当b≤0，f（x）在单调递增区间为（0，+∞）；
b＞0时，f（x）的递增区间为$（{0，\frac{1}{b}}）$，递减区间为$（{\frac{1}{b}，+∞}）$．…（6分）
（2）当b=1时，f（x）=ln x-x+a+1（x＞0）．
原题即为存在x使得ln x-x+a+1≥0，
∴a≥-ln x+x-1，…（7分）
令g（x）=-ln x+x-1，
则g′（x）=-$\frac{1}{x}$+1=$\frac{x-1}{x}$．令g′（x）=0，解得x=1．
∵当0＜x＜1时，g′（x）＜0，∴g（x）为减函数，
当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）为增函数，…（10分）
∴g（x）_min=g（1）=0．
∴a≥g（1）=0．∴a的取值范围为[0，+∞）．                  …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．