Question

11．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．
（1）若l的参数方程中的$t=-\sqrt{2}$时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；
（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标互化的方法得到结论；
（2）利用参数的几何意义，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$．

解答 解：（1）l的参数方程中的$t=-\sqrt{2}$时，M（-1，1），极坐标为$M（\sqrt{2}，\frac{3}{4}π）$，
曲线C的极坐标方程为ρ=4，曲线C的直角坐标方程：x²+y²=16…（5分）
（2）由${（\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}+{（2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}=16$得${t^2}+2\sqrt{2}t-12=0$，${t_1}+{t_2}=-2\sqrt{2}，{t_1}•{t_2}=-12$$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}=\frac{{|{t_1}|+|{t_2}|}}{{|{t_1}•{t_2}|}}=\frac{{\sqrt{{{（-2\sqrt{2}）}^2}-4•（-12）}}}{12}=\frac{{\sqrt{14}}}{6}$…（10分）

点评 本题考查极坐标与直角坐标互化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题．