【题目】已知函数.
(1)若函数的最小值为
,求
的值;
(2)证明: .
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由题意得,的最小值问题,需要借助于导数,对比极值与端点值确定,而由最值也可确定出未知量
;(2)借助第一问,将问题转化成最常见的形式:
.
试题解析:(1)的定义域为
,且
.若
,则
,于是
在
上单调递增,故
无最小值,不合题意,若
,则当
时,
;当
时,
.故
在
上单调递减,在
上单调递增.于是当
时,
取得最小值
.由已知得
, 解得
.综上,
.
(2)①下面先证当时,
.因为
, 所以只要证
.由(1)可知
, 于是只要证
,即只要证
, 令
,则
,当
时,
, 所以
在
单调递增,所以当
时,
,即
,故当
时,不等式
成立 .② 当
时,由(1)知
, 于是有
,即
,所以
, 即
,又因为
, 所以
,所以
,综上,不等式
成立.
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【题目】重庆因夏长酷热多伏旱而得名“火炉”,八月是重庆最热、用电量最高的月份.下图是沙坪坝区居民八月份用电量(单位:度)的频率分布直方图,其分组区间依次为:,
,
,
,
,
,
.
(1)求直方图中的;
(2)根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数;
(3)在用电量为,
,
,
的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则用电量在
的用户应抽取多少户?
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【题目】某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量(单位:台),并根据这10个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图. 为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
(1)求在这10个卖场中,甲型号电视机的“星级卖场”的个数;
(2)若在这10个卖场中,乙型号电视机销售量的平均数为26.7,求a>b的概率;
(3)若a=1,记乙型号电视机销售量的方差为,根据茎叶图推断b为何值时,
达到最值.
(只需写出结论)
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【题目】某工厂为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组检测数据(
…
)如下表所示:
试销价格
| 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | |
产品销量
| 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知变量具有线性负相关关系,且
,
,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为:甲
,乙
,丙
,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的( ).
(1)试判断谁的计算结果正确?并求出的值;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则该检测数据是“理想数据”,现从检测数据中随机抽取2个,为“理想数据”的个数,求随机变量
的分布列和数学期望.
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【题目】以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的四条边与
共有
个交点,且这
个交点恰好把圆周六等分.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与
相切,且椭圆
相交于
两点,求
的最大值.
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【题目】若四面体的三组对棱分别相等,即
给出下列结论:
①四面体每个面的面积相等;
②从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于
而小于
;
③连结四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分;
④从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长;
其中正确结论的序号是__________。(写出所有正确结论的序号)
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【题目】某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩(满分120分)分布直方图如下,已知分数在100~110的学生数有21人。
(Ⅰ)求总人数N和分数在110~115分的人数n;
(Ⅱ)现准备从分数在110~115分的n名学生(女生占)中任选2人,求其中恰好含有一名女生的概率;
(Ⅲ)为了分析某个学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议,对他前7次考试的数学成绩x(满分150分),物理成绩y进行分析,下面是该生7次考试的成绩。
数学 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,若该生的数学成绩达到130分,请你估计他的物理成绩大约是多少?
附:对于一组数据其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
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