Question

11．已知函数f（x）为R上的偶函数．且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），则f（2007）=0．

Answer 1

分析 根据已知条件，凑出函数的某些特殊函数值，观察到函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），易想到f（-3）与f（3）可能是解决问题的突破口．求出函数的周期，然后求解即可．

解答 解：由f（x+6）=f（x）+f（3），
令x=-3，则有f（-3+6）=f（-3）+f（3），
即f（3）=f（-3）+f（3），
所以f（-3）=0．
由已知f（x）是R上的偶函数，
所以f（3）=f（-3）=0，
所以f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），
所以T=6，
f（2007）=f（334×6+3）=f（3）=0．
故答案为：0．

点评 本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，不可能求出函数的解析式，然后采用代入求值的办法处理，故我们要根据已知的条件，凑出一些特殊点的函数值，借此分析函数的性质，本题中由于所求的是f（2007）故要探究的关键是函数的周期性．