Question

8．已知向量$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$满足：|$\overrightarrow{x}$|=1，|$\overrightarrow{y}$|=2，且（$\overrightarrow{x}$-2$\overrightarrow{y}$）（2$\overrightarrow{x}$-$\overrightarrow{y}$）=5．
（1）求$\overrightarrow{x}$与$\overrightarrow{y}$的夹角θ；
（2）若（$\overrightarrow{x}$-m$\overrightarrow{y}$）⊥$\overrightarrow{y}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）将（$\overrightarrow{x}$-2$\overrightarrow{y}$）（2$\overrightarrow{x}$-$\overrightarrow{y}$）=5展开，得出$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$，代入夹角公式计算；
（2）由（$\overrightarrow{x}$-m$\overrightarrow{y}$）⊥$\overrightarrow{y}$得（$\overrightarrow{x}$-m$\overrightarrow{y}$）•$\overrightarrow{y}$=0，展开计算．

解答 解：（1）∵（$\overrightarrow{x}$-2$\overrightarrow{y}$）（2$\overrightarrow{x}$-$\overrightarrow{y}$）=5，∴2|$\overrightarrow{x}$|²-5$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$+2|$\overrightarrow{y}$|²=5，∴$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$=1．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{x}|•|\overrightarrow{y}|}$=$\frac{1}{2}$．∴θ=$\frac{π}{3}$．
（2）∵（$\overrightarrow{x}$-m$\overrightarrow{y}$）⊥$\overrightarrow{y}$，∴（$\overrightarrow{x}$-m$\overrightarrow{y}$）•$\overrightarrow{y}$=0，∴$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$-m$\overrightarrow{y}$²=0，∴1-4m=0，解得m=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．