Question

15．设集合P={2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机抽取一个数作为a和b组成数对（a，b），并构成函数f（x）=ax²-6bx+1．
（1）写出所有可能的数对（a，b），并计算a≥2，且b≤3的概率；
（2）求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析 （1）列举出所有的可能的数对，由分步计数原理知共有10个，看清要求满足的条件，写出所有的数对，要做到不重不漏．
（2）设事件“f（x）=ax²-6bx+1在区间[1，+∞）上为增函数”为B，因函数f（x）=ax²-6bx+1的图象的对称轴为为x=$\frac{3b}{a}$且a＞0，所以要使事件B发生，只需$\frac{3b}{a}$≤1，即3b≤a，写出所有的满足条件的数对．

解答 解：（1）所有基本事件如下：
（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共有10个．
设事件“a≥2，且b≤3”为A，
则事件A包含的基本事件有8个，
所以P（A）=$\frac{8}{10}$=0.8．
（2）设事件“f（x）=ax²-6bx+1在区间[1，+∞）上为增函数”为B，
因函数f（x）=ax²-6bx+1的图象的对称轴为x=$\frac{3b}{a}$且a＞0，
所以要使事件B发生，只需$\frac{3b}{a}$≤1，即3b≤a．
由满足题意的数对有（2，-1）、（3，-1）、（3，1），共3个，
∴P（B）=$\frac{3}{10}$=0.3．

点评 本题主要考查古典概型，考查学生的计算能力，列举出所有事件是关键．