Question

7．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面EAC；
（2）求二面角A-EC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出△AOB∽△DOC，从而$\frac{BE}{PE}$=$\frac{BO}{DO}$，进而OE∥PD，由此能证明PD∥平面EAC．
（2）取CD中点F，连结AF，以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-EC-B的余弦值．

解答 证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE
∵底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB=BC=PA=1，CD=2，
∴△AOB∽△DOC，∴$\frac{OB}{DO}$=$\frac{AB}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∵点E在棱PB上，且PE=2EB，
∴$\frac{BE}{PE}$=$\frac{BO}{DO}$，∴OE∥PD，
∵PD?平面AEC，OE?平面AEC，
∴PD∥平面EAC．
（2）取CD中点F，连结AF，
∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，
AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，
∴PA⊥AC，四边形ABCF是正方形，
以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），C（1，1，0），E（$\frac{2}{3}$，0，$\frac{1}{3}$），B（0，1，0），
$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{2}{3}，0，\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{2}{3}，-1，\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），
设平面BEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}a-b+\frac{1}{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-a=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，3），
设二面角A-EC-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{7}{\sqrt{6}•\sqrt{10}}$=$\frac{7\sqrt{15}}{30}$．
∴二面角A-EC-B的余弦值为$\frac{7\sqrt{15}}{30}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用