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已知函数f(x)=sin2x+acosx+
5
8
a-
3
2
,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的最大值;
(2)如果对于区间[0,
π
2
]
上的任意一个x,都有f(x)≤1成立,求a的取值范围.
分析:(1)结合函数解析式的结构特征对函数进行配方可得f(x)=-(cosx-
1
2
)
2
+
3
8
,进而得到函数的最大值.
(2)根据函数解析式的特征对函数进行配方可得f(x)=-(cosx-
1
2
a)
2
+
a2
4
+
5
8
a-
1
2
,结合函数的定义域进行换元可得二次函数,即可利用二次函数的性质求出函数的最值,进而解决恒成立问题.
解答:解:(1)由题意可得:f(x)=sin2x+cosx-
7
8
=-cos2x+cosx+
1
8
=-(cosx-
1
2
)2+
3
8

所以当cosx=
1
2
时,函数f(x)的最大值是
3
8

(2)f(x)=-(cosx-
1
2
a)2+
a2
4
+
5
8
a-
1
2

0≤x≤
π
2
时,0≤cosx≤1,令t=cosx,则0≤t≤1.
y=-(t-
1
2
a)2+
a2
4
+
5
8
a-
1
2
,0≤t≤1.
0≤
a
2
≤1
,即0≤a≤2时,则当t=
a
2
,即cosx=
a
2
时,
f(x)max=
a2
4
+
5
8
a-
1
2
≤1

解得-4≤a≤
3
2

0≤a≤
3
2
;  
a
2
<0
,即a<0时,则当t=0即cosx=0时,
f(x)max=
5
8
a-
1
2
≤1

解得a≤
12
5

则a<0.
a
2
>1
,即a>2时,则当t=1即cosx=1时,
f(x)max=a+
5
8
a-
3
2
≤1

解得a≤
20
13
,无解.
综上可知,a的取值范围(-∞,
3
2
]
点评:解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质,二次函数的对称轴与区间的位置关系可以确定函数的最值.
练习册系列答案
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(附加题)
(Ⅰ)设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时有x2∈S,给出下列四个结论:
①若m=2,则l=4
②若m=-
1
2
,则
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0
④若m=1,则S={1},
其中正确的结论为
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若对于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,则b的取值范围为
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
记aij是这个数表的第i行第j列的数.例如a43=17
(Ⅰ)  求该数表前5行所有数之和S;
(Ⅱ)2009这个数位于第几行第几列?
(Ⅲ)已知函数f(x)=
3x
3n
(其中x>0),设该数表的第n行的所有数之和为bn
数列{f(bn)}的前n项和为Tn,求证Tn
2009
2010

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(2012•开封二模)已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(II)记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
,△ABC的面积S=
3
2
,a=
3
,求b+c的值.

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(2011•黑龙江一模)已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面积S.

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x2
1+x

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x2
1+x

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1
n
)n+a
所有项组成的集合的上界(其中e是自然对数的底数),求实数a的最大值.

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