Question

函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2．对函数f（x）=[x]有以下的判断：
①若x∈[1，2]，则f（x）的值域为{0，l，2}；
②f（x+1）=f（x）+1；
③f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
④g（x）=x-f（x）是一个周期函数．
其中正确的判断有

②④

（只填序号）．

Answer 1

分析：根据函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，故x∈[1，2]时，f（x）=1或f（x）=2，进而判断①；根据x+1与x小数部分相同，整数部分相差1，可判断②；令x₁=x₂=3.5，举出反倒，可判断③；根据g（x）=x-f（x）的函数值是自变量x的小数部分，进而可判断其周期为1，可判断④

解答：解：∵函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，
∴①若x∈[1，2]，则f（x）的值域为{l，2}，故①错误；
②x+1与x小数部分相同，整数部分相差1，故f（x+1）=f（x）+1，故②正确；
③当x₁=x₂=3.5时，f（x₁+x₂）=f（7）=7，f（x₁）+f（x₂）=3+3=6，f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）不成立，故③错误；
④g（x）=x-f（x）的函数值是自变量x的小数部分，故是一个周期为1的周期函数，故④正确
故正确的判断有②和④
故答案为：②④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的值域，函数的周期性，函数值，正确理解函数f（x）=[x]的含义是解答的关键．