Question

11．已知集合A={x|ax²-3x+2=0}．
（1）若A=∅，求实数a的取值范围；
（2）若A是只有一个元素的集合，求a的值及集合A；
（3）若A≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若A=∅，讨论当a=0和a≠0时是否满足条件，即可求实数a的取值范围；
（2）若A是只有一个元素的集合，讨论当a=0和a≠0时，是否满足条件a的值及集合A；
（3）若A≠∅，等价为ax²-3x+2=0有解，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=0时，A={x|ax²-3x+2=0}={x|-3x+2=0}={$\frac{2}{3}$}．不满足条件，
当a≠0，若A=∅，则判别式△=9-8a＜0，解得a＞$\frac{9}{8}$，
即实数a的取值范围是（$\frac{9}{8}$，+∞）；
（2）当a=0时，A={x|ax²-3x+2=0}={x|-3x+2=0}={$\frac{2}{3}$}．满足条件．只有一个元素，
当a≠0时，若A是只有一个元素的集合，判别式△=9-8a=0，解得a=$\frac{9}{8}$，此时A={x|x=-$\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{2×\frac{9}{8}}$=$\frac{4}{3}$}={$\frac{4}{3}$}，
即a的值为0或$\frac{9}{8}$，当a=0时，集合A={$\frac{2}{3}$}；
当a=$\frac{9}{8}$时，A={$\frac{4}{3}$}．
（3）当a=0时，A={x|ax²-3x+2=0}={x|-3x+2=0}={$\frac{2}{3}$}．满足条件，
当a≠0时，若A≠∅，判别式△=9-8a≥0，解得a≤$\frac{9}{8}$且a≠0，
即实数a的取值范围是（-∞，$\frac{9}{8}$]．

点评 本题主要考查元素和集合关系的判断，根据条件对a进行分类讨论是解决本题的关键．