Question

3．求f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$的反函数，并指出其定义域．

Answer 1

分析 根据已知中y=f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，用y表示x，可得函数的反函数的解析式，根据使解析式有意义的原则，可得函数的定义域．

解答 解：∵y=f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$=$\frac{{e}^{x}-\frac{1}{{e}^{x}}}{{e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}}$=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{{e}^{2x}+1}$，
∴$\frac{2}{{e}^{2x}+1}$=1-y，
∴e^2x+1=$\frac{2}{1-y}$，
∴e^2x=$\frac{2}{1-y}$-1=$\frac{1+y}{1-y}$，
∴2x=ln$\frac{1+y}{1-y}$，
∴x=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1+y}{1-y}$=ln$\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}$，
∴f^-1（x）=ln$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$，
由$\frac{1+x}{1-x}$＞0得：x∈（-1，1），
故f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$的反函数为f^-1（x）=ln$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$，x∈（-1，1）

点评 本题考查的知识点是反函数，函数的定义域，是指数运算，对数运算与函数的综合应用．