Question

13．已知集合P={x|x²-x-2＞0}，Q={x|x²+4x+a＜0}，若P?Q，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出集合P={x|x＞2，或x＜-1}，根据P?Q便知Q可能为空集，可能非空：Q=∅时，便有△≤0，这样会得到一个a的范围；Q≠∅时，可设f（x）=x²+4x+a，可以看出对称轴小于-1，从而可得出a应满足，$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{f（-1）≥0}\end{array}\right.$，这样又得到一个a的范围，这两个a的范围求并集即可得出实数a的取值范围．

解答 解：P={x|x＞2，或x＜-1}；
P?Q；
∴①若Q=∅，则△=16-4a≤0；
∴a≥4；
②若Q≠∅，设f（x）=x²+4x+a，该函数的对称轴为x=-2＜-1，则a应满足：
$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4a＞0}\\{f（-1）=1-4+a≥0}\end{array}\right.$；
解得3≤a＜4；
∴综上得实数a的取值范围为：[3，+∞）．

点评 考查描述法表示集合，一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，不要漏了Q=∅的情况，要熟悉二次函数的图象．