Question

4．定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时f（x）＞1且对任意的a，b∈R，f（a+b）=f（a）f（b）．
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：对任意x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）证明：f（x）在R上单调递增；
（4）若f（x）•f（2x-3）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令a=b=0，从而求f（0）；
（2）不妨设a＞0，b=-a＜0，从而证明；
（3）由（2）知，f（-a）=$\frac{1}{f（a）}$，任取x＜y，则f（y-x）=f（y）f（-x）=f（y）$\frac{1}{f（x）}$，从而证明；
（4）化简f（x）•f（2x-3）＞1为f（x（2x-3））＞f（0），从而利用单调性求解．

解答 解：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f（0）f（0），
又∵f（0）≠0，∴f（0）=1；
（2）证明：不妨设a＞0，b=-a＜0，
则f（0）=f（a）f（b），
即f（b）=$\frac{1}{f（a）}$＞0；
故对任意x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）证明：由（2）知，f（-a）=$\frac{1}{f（a）}$，
任取x＜y，则
f（y-x）=f（y）f（-x）=f（y）$\frac{1}{f（x）}$，
∵y-x＞0，∴f（y-x）＞1，
∴f（y）$\frac{1}{f（x）}$＞1，
∴f（y）＞f（x），
∴f（x）在R上单调递增；
（4）∵f（x）•f（2x-3）＞1，
∴f（x（2x-3））＞f（0），
又∵f（x）在R上单调递增，
∴x（2x-3）＞0，
∴x＞$\frac{3}{2}$或x＜0．

点评 本题考查了抽象函数的性质的判断与应用，同时考查了函数的单调性在解不等式中的应用．