Question

15．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-4）x+3\\;x≤1}\\{\frac{a}{x}\\;x＞1}\end{array}\right.$是R上的单调函数，则a的取值范围为[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-4）x+3\\;x≤1}\\{\frac{a}{x}\\;x＞1}\end{array}\right.$是R上的单调函数，分类求出满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-4）x+3\\;x≤1}\\{\frac{a}{x}\\;x＞1}\end{array}\right.$是R上的单调递增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}3a-4＞0\\ a＜0\\ 3a-4+3≤a\end{array}\right.$，
此时不存在满足条件的a值，
若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-4）x+3\\;x≤1}\\{\frac{a}{x}\\;x＞1}\end{array}\right.$是R上的单调递减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}3a-4＜0\\ a＞0\\ 3a-4+3≥a\end{array}\right.$，
解得：a∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$），
综上所述，a的取值范围为[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$），
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数单调性的性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．