Question

5．已知函数f（x）=x²-2x+3，求f（x）在区间[t，t+1]上的最小值g（t）（t∈R），并作出g（t）的图象，求出g（t）的值域．

Answer 1

分析 化简f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，从而以对称轴及区间的位置关系分类讨论从而求出g（t），再作出其图象，写出值域即可．

解答 解：f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
①当t+1＜1，即t＜0时，
g（t）=f_min（x）=f（t+1）=t²+2，
②当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，
g（t）=f_min（x）=f（1）=2，
③当t＞1时，
g（t）=f_min（x）=f（t）=t²-2t+3，
故g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+2，t＜0}\\{2，0≤t≤1}\\{{t}^{2}-2t+3，t＞1}\end{array}\right.$；
作g（t）的图象如下，

故函数的值域为[2，+∞）．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及学生作图与应用图象的能力．