Question

17．若a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{1}{1-{a}^{\frac{1}{4}}}$+$\frac{1}{1+{a}^{\frac{1}{4}}}$+$\frac{2}{1+{a}^{\frac{1}{2}}}$+$\frac{4}{1+a}$=（　　）

• A． $\frac{32}{3}$
• B． -$\frac{8}{3}$
• C． $\frac{32}{3}$或-$\frac{8}{3}$
• D． -$\frac{32}{3}$或$\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 化简$\frac{1}{1-{a}^{\frac{1}{4}}}$+$\frac{1}{1+{a}^{\frac{1}{4}}}$=$\frac{2}{（1-{a}^{\frac{1}{4}}）（1+{a}^{\frac{1}{4}}）}$=$\frac{2}{1-{a}^{\frac{1}{2}}}$，从而可化得$\frac{1}{1-{a}^{\frac{1}{4}}}$+$\frac{1}{1+{a}^{\frac{1}{4}}}$+$\frac{2}{1+{a}^{\frac{1}{2}}}$+$\frac{4}{1+a}$=$\frac{8}{1-{a}^{2}}$，再由a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$求得a=2或a=$\frac{1}{2}$，从而解得．

解答 解：$\frac{1}{1-{a}^{\frac{1}{4}}}$+$\frac{1}{1+{a}^{\frac{1}{4}}}$=$\frac{2}{（1-{a}^{\frac{1}{4}}）（1+{a}^{\frac{1}{4}}）}$=$\frac{2}{1-{a}^{\frac{1}{2}}}$，
$\frac{1}{1-{a}^{\frac{1}{4}}}$+$\frac{1}{1+{a}^{\frac{1}{4}}}$+$\frac{2}{1+{a}^{\frac{1}{2}}}$=$\frac{2}{1-{a}^{\frac{1}{2}}}$+$\frac{2}{1+{a}^{\frac{1}{2}}}$=$\frac{4}{1-a}$，
$\frac{4}{1-a}$+$\frac{4}{1+a}$=$\frac{8}{1-{a}^{2}}$，
∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴a+a^-1=$\frac{5}{2}$，
∴a=2或a=$\frac{1}{2}$，
①当a=2时，$\frac{8}{1-{a}^{2}}$=-$\frac{8}{3}$；
②当a=$\frac{1}{2}$时，$\frac{8}{1-{a}^{2}}$=$\frac{32}{3}$；
故选：C．

点评 本题考查了指数幂的化简与运用，同时考查了学生的化简能力．