Question

19．设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x+y∈S，xy∈S，则称S为闭集合，已知集合A={x|x=a+$\sqrt{2}$b，a、b∈N}．
（1）证明：集合A为闭集合；
（2）若集合B={x|x=$\sqrt{2}$x₁，x₁∈A}，证明：B?A．

Answer 1

分析 （1）?x，y∈A，x=a+$\sqrt{2}$b，y=c+$\sqrt{2}$d，a，b，c，d∈N，可得a+c，b+d∈N，ac+2bd，bc+ad∈N，可得x+y，xy∈A．即可证明．
（2）?x∈B，x=$\sqrt{2}$x₁，x₁∈A，设x₁=a+$\sqrt{2}$b，a，b∈N．可得x∈A．因此B⊆A．取y=1+$\sqrt{2}$∈A，可得y∉B，即可证明B?A．

解答 证明：（1）?x，y∈A，x=a+$\sqrt{2}$b，y=c+$\sqrt{2}$d，a，b，c，d∈N，
则a+c，b+d∈N，ac+2bd，bc+ad∈N，
∴x+y=（a+c）+$\sqrt{2}$（b+d）∈A，xy=（a+$\sqrt{2}$b）（c+$\sqrt{2}$d）=ac+2bd+$\sqrt{2}$（bc+ad）∈A．
∴集合A为闭集合．
（2）?x∈B，x=$\sqrt{2}$x₁，x₁∈A，设x₁=a+$\sqrt{2}$b，a，b∈N．则x=$\sqrt{2}$$（a+\sqrt{2}b）$=2b+$\sqrt{2}$a∈A．
∴B⊆A．
取y=1+$\sqrt{2}$∈A，假设1+$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$$（c+\sqrt{2}d）$=2d+$\sqrt{2}$c，则$\left\{\begin{array}{l}{2d=1}\\{c=1}\end{array}\right.$，解得c=1，d=$\frac{1}{2}$∉N，
∴1+$\sqrt{2}$∉B，
因此B?A．

点评 本题考查了集合的运算及其性质、元素与集合的关系、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．