Question

9．已知点P（2，3）和直线l：x+2y+1=0．
（1）求点P关于直线l的对称点P′的坐标
（2）若一束光线从P点射到l上，反射后经过点Q（-1，1），求入射线和反射线所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）设点P关于直线l的对称点P′的坐标为（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+m}{2}+2•\frac{3+n}{2}+1=0}\\{\frac{n-3}{m-2}•（-\frac{1}{2}）=-1}\end{array}\right.$，解方程组可得；
（2）由光的反射原理可知入射线经过P和Q的对称点Q′，反射线则经过P′和Q，同（1）可求得Q′（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{3}{5}$），可得直线的两点式方程，化为一般式即可．

解答 解：（1）设点P关于直线l的对称点P′的坐标为（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+m}{2}+2•\frac{3+n}{2}+1=0}\\{\frac{n-3}{m-2}•（-\frac{1}{2}）=-1}\end{array}\right.$，整理可得$\left\{\begin{array}{l}{m+2n+10=0}\\{2m-n-1=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{8}{5}}\\{n=-\frac{21}{5}}\end{array}\right.$，∴点P关于直线l的对称点P′的坐标为（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{21}{5}$）；
（2）由光的反射原理可知入射线经过P和Q的对称点Q′，
反射线则经过P′和Q，
同（1）可求得Q′（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{3}{5}$），
∴入射线所在直线的方程为$\frac{y+\frac{3}{5}}{3+\frac{3}{5}}$=$\frac{x+\frac{9}{5}}{2+\frac{9}{5}}$，化为一般式可得18x-19y+21=0；
反射线所在直线的方程为$\frac{y+\frac{21}{5}}{1+\frac{21}{5}}$=$\frac{x+\frac{8}{5}}{-1+\frac{8}{5}}$，化为一般式可26x-3y+29=0

点评 本题考查直线的对称性，涉及垂直关系和直线的方程，属中档题．