Question

20．已知函数f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$．
（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．
（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．
（3）求使不等式f（x）-2m²+2m＞0在x∈[1，4]上恒成立时的m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由变量分离，可得函数f（x）在区间[1，+∞）上递增．注意运用单调性定义证明的几个步骤：作差，变形和定符号、下结论；
（2）由单调性，即可得到最值；
（3）由题意可得2m²-2m＜f（（x）的最小值，运用（2）的结论，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$=2-$\frac{1}{x+1}$，
即有函数f（x）在区间[1，+∞）上递增．
理由如下：设1≤m＜n，则f（m）-f（n）=2-$\frac{1}{m+1}$-（2-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{m-n}{（m+1）（n+1）}$，
由1≤m＜n，可得m-n＜0，（m+1）（n+1）＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
故f（x）在区间[1，+∞）上递增；
（2）该函数在区间[1，4]上递增，
即有f（1）取得最小值$\frac{3}{2}$，f（4）取得最大值$\frac{9}{5}$．
（3）不等式f（x）-2m²+2m＞0在x∈[1，4]上恒成立，
即为2m²-2m＜f（（x）的最小值，
由（2）可得f（x）在[1，4]的最小值为$\frac{3}{2}$，
即有2m²-2m＜$\frac{3}{2}$，解得-$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{3}{2}$．
则m的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查函数的单调性的判断和应用：求最值和解不等式，考查化简运算求解的能力，以及参数分离的方法，属于中档题．