Question

19．已知函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x-1．
（1）求函数f（x）的单调递减区间．
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个长度单位，再向下平移$\frac{1}{2}$个长度单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）首先，根据降幂公式，结合辅助角公式化简函数解析式，得到f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），然后，确定其单调递减区间即可；
（2）首先，根据平移变换，得到函数g（x）的解析式，然后，求解器值域即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x-1．
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z，
（2）函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个长度单位，再向下平移$\frac{1}{2}$个长度单位，
∴g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]-$\frac{1}{2}$，
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∴g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
∴函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题重点考查了三角公式、三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．