Question

已知双曲线C：

x2

a2

-y²=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求a的取值范围；
（2）设x₁=

5

12

x₂，求a的值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和方程二次项系数不等于0求得a的范围；
（2）设出A，B，P的坐标，根据x₁=

5

12

x₂，求得x₁和x₂的关系式，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，联立方程求得a．

解答： 解：（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

x2 a2 -y2=1 x+y=1

有两个不同的实数解．
消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以

1-a2≠0 4a4+8a2(1-a2)＞0

解得0＜a＜

2

且a≠1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵x₁=

5

12

x₂，
由于x₁和x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以x₁+x₂=

17

12

x₂=-

2a2

1-a2

．
x₁•x₂=

5

12

x₂²，
消去x₂，得-

2a2

1-a2

=

289

60

由a＞0，所以a=

17

13

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．