Question

如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且面ACFE⊥面ABCD，AB=BD=2，AE=

3

，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点．
（Ⅰ）证明：CH⊥面BFD；
（Ⅱ）若CH=

3

2

，求EF与面EDB所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）首先根据已知条件利用菱形的性质求出垂直的关系，进一步利用面面垂直得到线线垂直，最后利用线面垂直的判定求出结论．
（Ⅱ）利用上步的结论，先确定线面的夹角，进一步求出角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：四边形ABCD为菱形
所以：BD⊥AC
又面ACEF⊥面ABCD
所以：BD⊥平面ACFE
所以：BD⊥CH
即：CH⊥BD
又H为FG的中点，CG=CF=

3

所以：CH⊥FG
所以：CH⊥面BFD．
（Ⅱ）连接EG，由（Ⅰ）知BD⊥平面ACFE
所以：面EFG⊥面BED
所以：EF与平面EDB所成的角即为∠FEG．
在△FCG中，CG=CF=

3

，CH=

3

2

，CH⊥GF
所以∠GCF=120°，GF=3
所以EG=

3

，又因为EF=2

3

．
所以在△EFG中，可求得∠FEG=60°

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定，线面的夹角的应用．属于基础题型．